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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 O` >HvT  
g@c^w4(  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Q Ybo)"|#  
aoEGRG7  
　　1、三角函数本质： } 6x)6Xs  
= =#wMe  
　　三角函数的本质来源于定义 $jMpO6-R  
/4})A :  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 =G*OvKh33  
#4Qtv7  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 k@fMi?2l'"  
"p$!3${&  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 2MV  n  
CA{~'I(F  
　　推导： Q YA=ySZy  
o`FNb  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 HU(zdB</  
wD`Tde  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) \ujb'kPWv  
f upqPa[#*  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 1tzWJu.u  
NaEm)MW1  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 f}wevx<  
.h(x4F&  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Y53JRUdh  
/;{SU$9`G  
　　[1] Ix2}ba  
=:RM.  
　　两角和公式 8 4ne<X  
uEI % #  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB S &RG6e8]  
RTRJ\q Lre  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  w~*%-b%E%K  
!,,-1xJHX  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB q#2vgq7m  
(M}wp\V  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ~D /VC+`m  
O?2Ws~  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) {G3b$`r9,  
T\w/cUf  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) *y7DR5  
Y$s0- o  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  MTmluQ^  
T"=u 34:  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) w^ > +g^P[  
l Uv>,,b  
倍角公式 E?CAG5   
@%ld ]av  
　　Sin2A=2SinA•CosA 0bL,lkP  
T2 v(j/  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 +ogL72:  
(D8CizL26  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） e2nW/B0>,  
7WV?:HTK  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ）  nlDry)  
;Mxq Ma  
三倍角公式 J42~   
xYU1b ;  
　　 08qS" m\  
r 0N0 Db2Y  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 0kb3=@T"  
L GmN  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Ly-lu jW{  
2e xTL_V  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 1qJ[Uo,Zyy  
|^*S/#  
三倍角公式推导 tlegd*w5H  
Dm K|I  
　　sin3a "p/v&4(&  
H6Pw[O%  
　　=sin(2a+a) 4}]oP|g  
-2l$h'  
　　=sin2acosa+cos2asina T=S^Z" |F  
5)b5-  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina %F@xl<ZvH  
0o 3eYbSm  
　　=3sina-4sin³a ,Cx 'dML  
A[|w^i  
　　cos3a uzZ %6%R  
- Qikt6o  
　　=cos(2a+a) \ND>;Sw!%  
sQxe# U=D  
　　=cos2acosa-sin2asina qhl< }  
Jro5M -  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 2k=s &  
{nzB$%==  
　　=4cos³a-3cosa 0e3nO,bC=  
]".|%[Eg#  
　　sin3a=3sina-4sin³a B~ DCJQ?6  
XvH <Uxvx  
　　=4sina(3/4-sin²a) c {2*2O  
-spG[y  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] J{&P>=tf  
kd[1Uy'MY  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) }yQ%>U4q2/  
?f`h)f7)-  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)  T<:[])9  
- C7*4  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Y\ R%8 #  
]s ,)e knz  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) dEI8a}!<r  
Zk]P> L%  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ql_m  
B|.2N  
　　=4cosa(cos²a-3/4) }' {UW3~  
Ct+Q[9q  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ff' A>0'  
KB$e >z=  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Xvq:9 _  
0Ay7IL`  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) yd$# Du4I  
z(nP!'  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ,;6<[V3+xU  
3I9r  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) E]Eix,:i3  
4nxb**\D  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] @cZ;  t@  
ke_$H$8  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] jiI0q  
(EDD\lyQF  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) a nDdY]  
%6 E,0U|  
　　上述两式相比可得 CeE-M=i4#  
\. Ux[wDR  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 6.VCM  
J|"i&:  
半角公式 6-TL2X/m  
>4/{d}Y'$|  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Y0.g=j  
Y69q*G->  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. | q1&p)1]  
{S=`V#fax'  
和差化积 uD7~ 0#  
~, l:i   
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1Xwkq$\w);  
G# ~xc_l  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] V l%VCO  
wQ_&^FXS  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] + by+C/Y  
UVAPW7OE)  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] gF\4K! u  
DG(Q[M$J  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) c^(s}p.j  
d_W<u (I  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) "Ks{S5  
\5&&K`\s+  
积化和差 8M[qm_G:a  
ZZ z~Q9/  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] SYE(^  
,P\5yW  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] uQal> VQ  
3 KydAl  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 7?[ -G   
~i|AU)IDj  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] {qGLbl8!u  
XE!$&(aV  
诱导公式 a/VI(YIT%I  
U6hX,b>x_  
　　sin(-α) = -sinα oI%BmJ>  
)#@ jp>@^  
　　cos(-α) = cosα B_fO[^  
HB_+z g^>  
　　sin(π/2-α) = cosα -hv GsI8<P  
28pcFJTzs  
　　cos(π/2-α) = sinα +vT!-"  
L   
　　sin(π/2+α) = cosα cRfp_o,  
w_QT en   
　　cos(π/2+α) = -sinα ;\sHfL  
:>\gqo]E  
　　sin(π-α) = sinα b'wa'P<  
fT,:o@H>  
　　cos(π-α) = -cosα Jfs [7'(a  
XS+!9|s$x  
　　sin(π+α) = -sinα <VHrLq>B x  
}rX KXQC .  
　　cos(π+α) = -cosα g?gbT5aw  
7or5s6_"@  
　　tanA= sinA/cosA > B; Qkf  
R>w^M  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα K1?@NfO9  
&v7[(q7D ;  
　　tan（π/2－α）＝cotα &Sy]LO6mO`  
'FgGjRG,  
　　tan（π－α）＝－tanα vXs 6 5  
-HhP.o<  
　　tan（π＋α）＝tanα +VH[ St  
R0$/Tz,G  
万能公式 qaq0 Ui;  
; m<S`zY]  
　　 iK6;3=u7  
Uu`$dPb  
其它公式 ?Z\/gY1  
NxiUk  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ?uF h2  
#X^Hc;-M  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 x50l){4  
R5)tzrIm  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 E#.r)tF  
K`a)}| /#  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 IIDY#`49  
Lj(/@}  
　　对于任意非直角三角形,总有 `[U)pW  
'.m]{#H  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC io2P6AW{  
5JEw. ,  
　　证: n~6N34(L  
ZFs(5Bh:w  
　　A+B=π-C -?w=r 7XL  
9{G5Z2'^^  
　　tan(A+B)=tan(π-C) `ns~A8G?  
%`DWq"  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) dbW^}QgiJ  
GRvD-lc  
　　整理可得 {vAJ\#9m  
w 0#{  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC HSZ"yfRU  
n=Fs%$BKs  
　　得证 WH#}Y  
N$- k4U  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 |Ra s)Nv  
,p7N%70^  
其他非重点三角函数 A.d+|  
.bA%U!  
　　csc(a) = 1/sin(a) E1a|&Ro@S  
N5CMSK  
　　sec(a) = 1/cos(a) 8$ y#?L  
}|\yc+8  
　　 AesgEJ,{r  
Pz  $  
双曲函数 }eO{#da  
]>jPC[uF  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 6+"VkO  
< uqq,j  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 (h##nw>bQ  
?j oAJ|f  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) C?4D2f?tu  
A:q`}2${x;  
　　公式一： itOGDRA  
w+H~T4e8  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： g3Tk, ~aA  
c&;[)~cwnT  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Wz} Eb:4  
syH[h[M  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 8D2_Txtzi  
{vR 3  
　　tan（kπ＋α）= tanα 8WuN|,g  
[j=   
　　cot（kπ＋α）= cotα XJ+C0o`  
"@Rtfp*q  
　　公式二： @4mHqvn$MI  
niE)#w+w  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： j[3mtVq   
@7{f$I  
　　sin（π＋α）= -sinα {U ~$#  
" lf4j~  
　　cos（π＋α）= -cosα $]9\|q  
WNw1{gg{*  
　　tan（π＋α）= tanα P t(--Pa=y  
8i2iGXZ,E  
　　cot（π＋α）= cotα :\#,GC-[  
?O*-Nm)  
　　公式三： fhVuena.  
QlX*(0 :  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： NwxiH}t  
| kyn4jCE  
　　sin（-α）= -sinα ^sZwcb  
b9<j L=Y!  
　　cos（-α）= cosα /9%E(\Z:?  
tsN$s/6y  
　　tan（-α）= -tanα g}Iz1`?D  
O :4&1"O  
　　cot（-α）= -cotα >w s RO.&  
3V[]3'X  
　　公式四： +o[k_q@J  
`ztq 8Y,  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 7"M<|12$Z  
+AAY*)_YW  
　　sin（π-α）= sinα 1VE%- EKZ  
+^hb4Yw7  
　　cos（π-α）= -cosα LAM$JQBU  
B ,+4bB_]q  
　　tan（π-α）= -tanα gR xcv:  
N9(M  
　　cot（π-α）= -cotα f[c]Bgx  
pq )0?D#4a  
　　公式五： r `#$l  
iC]PA'2V  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： I{DYH8  
=lph  
　　sin（2π-α）= -sinα Q|i WQS\  
:[JZtZ5Q  
　　cos（2π-α）= cosα 5jf<.A  
#8%aa{Z  
　　tan（2π-α）= -tanα @`%A#JwfS  
9,l$}{?J#  
　　cot（2π-α）= -cotα nT>hlU6+  
^)tMx7Q|Y  
　　公式六： kFa);j0^  
@{|jq|`U  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sco+ GGa  
HB[?^^ik  
　　sin（π/2+α）= cosα asn?&<R  
!umNVR  
　　cos（π/2+α）= -sinα on6#Yw I  
u=WW<x _  
　　tan（π/2+α）= -cotα DdZ|#1e6Q  
( v> Z  
　　cot（π/2+α）= -tanα |CVY?Ht,s  
!zM8^FS  
　　sin（π/2-α）= cosα  m1/4jL  
P|~LD5 i  
　　cos（π/2-α）= sinα :o*1u"sI  
NCTA|  
　　tan（π/2-α）= cotα WX'-E8n  
1 f;mtu;s  
　　cot（π/2-α）= tanα P^\H&ebM!  
<d[\GA  
　　sin（3π/2+α）= -cosα zmu! bx^  
&-#|.VjeN  
　　cos（3π/2+α）= sinα x 3UJ /(p  
[ ig#b$_[  
　　tan（3π/2+α）= -cotα $H7Nf<W  
+He>kEh>k  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ;=s]XUj@  
tZ7rg6_?t  
　　sin（3π/2-α）= -cosα Y<]h5b  
^"_$1p?  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 'LOykV[Gk  
 Tt!~dO  
　　tan（3π/2-α）= cotα DP%7=9)  
XWi'*k  
　　cot（3π/2-α）= tanα h<Vhe&&N  
w '^:Z<}  
　　(以上k∈Z) N.ViSVjlA  
XW$rF LJj  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 KXg  
ICSB`q  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Qt3$M{p$0@  
2v:^^C[NEX  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ]327Y4j  
k&TCv %V  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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