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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 hz (5I'\7  
Ygz0](>S  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. PxIbVA-(N  
*uQH,5T  
　　1、三角函数本质： ](?qzKlv:  
G&n>}h4B  
　　三角函数的本质来源于定义 (>>kMh,  
{j* LX  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ?6EcBm3  
-U{ adc&!/  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 1I=3]+o  
Lj g8&U1  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： !sE|5R9G"  
w }-c ,8,,  
　　推导： rO#J,Z(1  
~0(YAA6  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 24sF >Lz  
q8r=_/o  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 4 YVHM  
}>~aWiB<  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) zqza &>P,  
PRO R:@U  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 3;5i 8  
yyaBU!m  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） @Ej(nE)^  
<J?!6  
　　[1] b*clY.i  
 {mAHS  
　　两角和公式 Gnd[&8 fL  
=f R=f  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB J8V%bi  
:;qI/BRa9  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  evug VdT  
RP`pLQ*cj~  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB !~4=s!dF  
gXy`rD]!d  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 2G3u ;?"g  
UH%g(i  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) =n?Y%j]7o  
h ^;:9$S#  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) n`WP*F_;O  
 8W-@24  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  t*#_ AH!  
1n 628Rp  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) +9K n.b%  
{^=~N/  
倍角公式 jjv{HaT9  
{]{$Aj#c  
　　Sin2A=2SinA•CosA !Yy4p_  
3+Xt'<q&  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 }I{R6  
B)N`DLN>C  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） lNO$pgAh  
aA.Xy^{{s  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Ze@A~nju  
9Q K>UD  
三倍角公式 w-68AdN  
m3@(c G+-Y  
　　 {.TkFU,N  
hJIK')B,t  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) <^Afwn]W/  
*N)jMw5  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Ht1tS)\o  
A75-H&P5,  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) =3>_jb  
'Ydj="NT  
三倍角公式推导 c'dJn&"'h  
Dcirq}5J-  
　　sin3a d*]~| y|,@  
[9=L-3A(  
　　=sin(2a+a) &^9@;9k]\  
D:E:eE*  
　　=sin2acosa+cos2asina vs@!7.%  
)$0Bh8sY*  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina V7brmLW6n  
3~_f"QCo  
　　=3sina-4sin³a Nlxs5;( .  
&;/)uTiud  
　　cos3a h]Q]J)m  
Ofx|U&  
　　=cos(2a+a) 3eo}EHf  
& 5q,D  
　　=cos2acosa-sin2asina K/~v-Oq  
? P;K1{  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa *4{ x"k3  
}0sI',7~  
　　=4cos³a-3cosa #_"kQ/  
IkV.T6;  
　　sin3a=3sina-4sin³a E1(K"=kBp6  
Ycuq!\  
　　=4sina(3/4-sin²a) a{z;#w[  
]VmBx%OT}  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ;h50j1W  
7t|)dHcL  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) yNFuZF6H>  
v@@7j`R  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 3.k]GA]<  
o{Tp?\/L"  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] !(/n  (  
OqbgF  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) P#sMoo'k5  
5g-;V5p  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ^qzv%   
'a3#Fo $  
　　=4cosa(cos²a-3/4) MykY?  
mUkf,\>r  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ;uVC sD  
T,1~aGU  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) K-btzf<B  
^yl16}aoks  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 09o'{  
g$bE<RF  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} _]\\lL7',  
6"T2Awz  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) m>.5v_ t  
0?-K?0K  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] :}e8#.  
H+t)q  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 3P_[f  
w3eWic_  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Q0>H{%i  
<0um86Q.  
　　上述两式相比可得 0 ZFZLy-  
ntk^K3  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) {y9.|i!  
a&+   
半角公式 Jp7M* mdw  
} I^8UE (  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); pr3TTKez  
%!( [ m  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. mK 6}Z@  
hO#Sb#`; 8  
和差化积 O_ Q" QN$K  
,6t8sxrC  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] biI83ki4J  
ZYsf2wV'-  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] aH]_~i^y!%  
Wc+1v8\+^  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] NO,h}YR)  
SRi zd ^-  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 6WGa7QYu  
{z e*S,_  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) yMV)s  
=o&s Jw  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) -6F,5AM!  
c *m|4sa  
积化和差 }C)~^}yo#  
0Z7w&-+  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] _v$^|\|0  
'^N:D  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] B~`:S tcU  
V0/t^b6;  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] q,Scme:iX  
7? *4(`'z  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ->'VrDr  
>~]. ^8S  
诱导公式 l^o :fuA  
7g@>sqL2  
　　sin(-α) = -sinα N@7>tx  
, nRgT 7`  
　　cos(-α) = cosα 1Li3W6+K  
P-) n$!  
　　sin(π/2-α) = cosα }-zdYN\.  
wW<\;=3w  
　　cos(π/2-α) = sinα js{ ,;n&  
r|BAb90  
　　sin(π/2+α) = cosα StPv'cC5  
}R%Wf4@T:  
　　cos(π/2+α) = -sinα PHXs'~kZ  
%oGX7  
　　sin(π-α) = sinα jd3;^(h  
)6&PvS  
　　cos(π-α) = -cosα q!~cAl  
qd&=.Z  
　　sin(π+α) = -sinα t'fGnVR](5  
/sjF ]/i?  
　　cos(π+α) = -cosα u?{*R=3-  
S3nOx(5  
　　tanA= sinA/cosA S*K1J!L  
>1aXTT  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 9,;&;H-V  
>NT=miUd  
　　tan（π/2－α）＝cotα TWZa_M,v  
b9M7U~  
　　tan（π－α）＝－tanα !$&3('CTu  
6KN&<e`b  
　　tan（π＋α）＝tanα  +,\,hDq  
(u0 z98w  
万能公式 KY3cX2Sqa  
nT^]vp#T h  
　　 7r QYq b  
=r,IUW&   
其它公式 ms0 z &  
Yum8K e4  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 jP/wz  
iIj=d]j?q  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 c>=R1_dtD(  
BK1lvrT@\  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 LeU6DWL  
=T9?_u  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 |Mz[&g]H  
`Y`[##+  
　　对于任意非直角三角形,总有 % TD  
,H,fiO9eV;  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ^j?XWa:s  
y*QY'  
　　证: V^9>@  
h ~m,?y~  
　　A+B=π-C `-u.dZ^  
91eviazA3  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 'Hk9'o$  
5ww6rQ  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 4 (~6M  
6MV dDDG  
　　整理可得 }4+2nb5bs  
$n`) 8g  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 5x< 2}%u  
NqY(iE:YI  
　　得证 $W+$NQ1%  
$S2&'>vj  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ,R4i~\KN$  
k5%<(t`_  
其他非重点三角函数 &e m(J`  
Ymy{9.  
　　csc(a) = 1/sin(a) }s5e2dE  
}u(C$$0le  
　　sec(a) = 1/cos(a) <H7b4<s[  
Wl0<mXKY(  
　　 H<XG X  
!p[i' y\R  
双曲函数 yBGoocs D  
-q_3x Kt  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 e~t*<  
@!?y; ^L  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 7k;Ge) A(  
@& CU%[-  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) '|ta&P8G_  
2wfg`Qr.  
　　公式一： hK:hY+&  
bE{A NK$B  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： .ZA <7+'  
Ss`0Q}R  
　　sin（2kπ＋α）= sinα G5hnknsSo  
\ OK-6Cy_  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 8w>S!sW%  
2=>\0`/  
　　tan（kπ＋α）= tanα iG\+L.fq  
mQxBos/"A  
　　cot（kπ＋α）= cotα G6HFg5wB  
#x v' ~`3  
　　公式二： ,.M]!*A  
{bZXu  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： dQ[U}/94Q  
flKbE#{  
　　sin（π＋α）= -sinα W'YX s@   
]vt]=_;5+l  
　　cos（π＋α）= -cosα eDzG  
O{y`\:  
　　tan（π＋α）= tanα ~A(jP 4  
be)5ncV&  
　　cot（π＋α）= cotα A+k@i3=a  
}1^*Qd  
　　公式三： |Qqg5u,  
C77}]  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： t9lz"R  
.9k/m!m4  
　　sin（-α）= -sinα @'7{L8$G  
ozhfQ`H~  
　　cos（-α）= cosα @)kr.&GhlT  
I0Y-+r+L  
　　tan（-α）= -tanα 4<GY&J'0"  
^}UZf.\  
　　cot（-α）= -cotα 6i 3A~s  
Go 2Er<  
　　公式四： )2==;j`  
'LrI2Py:  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 4r^Z"}u  
{8 \*JK[  
　　sin（π-α）= sinα WYA0-s/<Q  
NL^X+h\{  
　　cos（π-α）= -cosα keew.#KN  
C?SM9_.Ja8  
　　tan（π-α）= -tanα 1L*"&%  
0'dtM&o  
　　cot（π-α）= -cotα 8 i^o+  
y ,sJca  
　　公式五： mqE='WfJ  
$H@D\b  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： beMN5I~N  
Y<>lLj  
　　sin（2π-α）= -sinα 6aLMKOl"z  
JV <.Wq'$  
　　cos（2π-α）= cosα 6r!^m  
M-[ 7dhTD  
　　tan（2π-α）= -tanα 9PSJ|yq'  
/AguRY.b  
　　cot（2π-α）= -cotα UmnF8$  
^A+R v1Hzw  
　　公式六： B05_.PY  
mCL3lC  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： R42WB?M  
IKG 3e|  
　　sin（π/2+α）= cosα WtOzZ2H-)w  
X0 dl;r!O  
　　cos（π/2+α）= -sinα g FXZuM:6  
3bfuyLv  
　　tan（π/2+α）= -cotα 3;%!mhzD+  
%3kC,YaV.  
　　cot（π/2+α）= -tanα hxB},c  
;'BD/3fJw  
　　sin（π/2-α）= cosα {%:&s|8  
N,%'j+m^  
　　cos（π/2-α）= sinα _$@gyJnM>  
MiT?,=' k  
　　tan（π/2-α）= cotα U]%;w`s   
ZsEz! NR  
　　cot（π/2-α）= tanα Hu|LDIctQf  
:P}`8MA(  
　　sin（3π/2+α）= -cosα V{uBkm'Kb-  
$?nI0@t  
　　cos（3π/2+α）= sinα DIFG!^t"  
{F_+kTYX  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 8$lMtUBa)  
|R4i3\qqZ`  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ,Ihc-dO:  
25h9>ZAJ  
　　sin（3π/2-α）= -cosα N $KQ]QcP  
"4iHXQ:  
　　cos（3π/2-α）= -sinα #_Q%)?   
|oNrym:p  
　　tan（3π/2-α）= cotα G 2U4mnBp  
4XO/T4=  
　　cot（3π/2-α）= tanα S-k{ivI  
!d|_l$)j  
　　(以上k∈Z) !r}YQVwc  
\3$~y_`A  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 mQG6^##+1  
XRS:3tTZ  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = A(~]qnKr  
|yeWy^T`\  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } S)GfcvazA_  
?kI%Hg`U  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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