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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 "eQsH|]L  
!e;"yW5)Z  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. xdzXf(+]E  
\JDhC  
　　1、三角函数本质： &u$i '"U  
2yUKIKV^ Z  
　　三角函数的本质来源于定义 /X!4nn-7  
0".VsEt  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 yJ[-sN.|  
 Y%9q r  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 eg!!D B  
MeNQ3# Kf  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： k{?H}Rw  
=IPt2  
　　推导： w#|lsu  
mqG Vv A`  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 M:^DP3m|6  
_/hz5p pU  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) yu LGS'P  
C \8Q*Z  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) /zB=YR&u~  
yK?n]  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 .cFUXg  
wsUx  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） J8o \of  
}SWUz>L]C  
　　[1] W|n ~o% 2[  
.'v& ^Lr  
　　两角和公式 %{4T/  
W*a !N  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB @{9F/U#xJ  
\ I Zg2H  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  8)*bsN~YC  
_7%KG6ssaE  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB }%r/YM  
rsQiK"h9  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB S`s,$U4 7  
|t*p%X=)  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) />ZlF-6  
ijtQDDsq  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) KL2"EJbPa  
N_;IS4  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  n>sKqmg4l  
1'43o+  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 8^wp7^Rm  
D2r#!&  
倍角公式 I$ 2[r#L|  
{;c&( +X  
　　Sin2A=2SinA•CosA <7(1?  
]u-#  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 O:|?$3[~E  
jL`se+.H/  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） z@K7kD h  
e}ZTo1C}(Q  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Q`5SB  
bw!2 .!  
三倍角公式 ]( :5Z  
'AxAOQ^  
　　 =+bw>>(R,'  
qT4RGU=,5  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) iTI(Q$h  
q{8H| T6  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) hD6#q [  
diA4{x  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) l^(&\5  
&P6{59  
三倍角公式推导 t|H7CtaiJ  
V2wxPP  
　　sin3a ?6 5T"-m  
q(^Wm?='Au  
　　=sin(2a+a) mOIO O\]  
i@QfFg?a  
　　=sin2acosa+cos2asina l; \0cG-z  
xfrfp=  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina L AxY|Iaj;  
b0j r'<Z  
　　=3sina-4sin³a /1sI%'7ry\  
Vme)akA  
　　cos3a op'%IF*%  
 .xr^4D  
　　=cos(2a+a) '#E]9 FHF  
=a ;r/7G  
　　=cos2acosa-sin2asina s;8  >A_<  
ai5?){U%  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa _= GZ(  
*qA-x+  
　　=4cos³a-3cosa tS]! zts{~  
MMesX6e  
　　sin3a=3sina-4sin³a >zx-+NUf  
8 \]}8[  
　　=4sina(3/4-sin²a) ol0zp~D   
dCzQ97(  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] |E, ?nj  
vMxd=s b`  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ol5!L7y  
XmO 2kU  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) !S 8mmP[  
Ll~J. *  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] YI1UE8 O  
#b 0IEWW  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) =U Q||"c  
NcH`gAZc  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Ru<"U Af$  
aEd~3)eOO  
　　=4cosa(cos²a-3/4) j+:mD0@Pr  
0S^}jGZ?<  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] s,(!9/=Ql  
7[`%Gpp  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) m q{t)w?  
Vh kIHBH  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 5_KWRl0  
/6oP&Fdr  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 7D(-R  
M%_(?_hUH  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) D!/w2[(~j>  
n254Z p0  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] pX4-&,  
/hV>$PL  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] -'}p7r  
D 5PAJ~:J_  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ^JWZano^7  
0Z^ ab  
　　上述两式相比可得 pn'XNf$  
q\?zjmsOZ?  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) |ys K`2  
z;"8"kQ ^  
半角公式 8rk U,L}  
_*N.#'UE  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); dk te  
?*l:5 \&h  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. X" ,""K  
&0B>kKCY  
和差化积 c}skuc>j  
bLQj-J7  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] d-[.W.y1  
LggE5Gs/  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] G9*O2.Ex  
"<6)D;HZ=  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 5FA7c u  
Sgxt3k  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 9DUd3n  
(9v'T  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) '9yl-7~OzN  
Fo}bW}`%'  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) g:_=qZ?,R  
i3EQe\}1l  
积化和差 $5'BJY!  
C&U\+qCXvI  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ``S oA(  
d0 ib&kL  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] &$!';~Sg   
3JP*("07  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 2!$/A]e_  
 5(iM42t~  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] b-Pi[\X  
,$7:{2iw|  
诱导公式 IqE; MU  
=x3S~[HmY  
　　sin(-α) = -sinα D^wq 9c4  
e\l$8-}"  
　　cos(-α) = cosα ~G9r+dDe&  
WjAF'|)  
　　sin(π/2-α) = cosα ;f> F7  
tv!)[/ ^  
　　cos(π/2-α) = sinα Sn KIO*Z`  
9WF"R<q  
　　sin(π/2+α) = cosα IG eAXBF  
gwus4*h<  
　　cos(π/2+α) = -sinα rZIs4QA  
>6no;tq  
　　sin(π-α) = sinα =J[xxo  
2`~7"#  
　　cos(π-α) = -cosα cnDJp.<L  
m[Ju{:  
　　sin(π+α) = -sinα ee"pud$o  
b{A"3`4q  
　　cos(π+α) = -cosα +GtiP^#L  
{:uB&u P"  
　　tanA= sinA/cosA [emNA xy  
{&J=/mY  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ,X9h'[gp3  
-XbA`t  
　　tan（π/2－α）＝cotα [wM Nxg  
?np w>>D  
　　tan（π－α）＝－tanα 0.h"2 %  
s[PX6t_T  
　　tan（π＋α）＝tanα p'U'V?/zvn  
B L$bGYE  
万能公式 (c%79*6)  
> B*=@  
　　 .t}3y 0  
TW X|@4  
其它公式 oJp/USf  
i"|5~8EM  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 -^}5kbTN  
py >OS  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 .gc^@  
~}|uCn1~:t  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 9nR3sb  
@ +9L]m:  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 v4&lgpSP  
y ~-(*O[Z  
　　对于任意非直角三角形,总有 3a5H({  
}")S]?e  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC \Y!5$Qfe  
G &xR):nv  
　　证: kBP2rtqpc  
~{#ST6]  
　　A+B=π-C i^b:v]g<Q  
dTH-F09  
　　tan(A+B)=tan(π-C) e*K 9`!  
flDqK$7  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) &wtCh/;  
w4nmH/`?  
　　整理可得 z47Ih6{IT  
1p&#Q0~A  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC .zD eVxam,  
cAVYj7JjY;  
　　得证 ncFcy=W zp  
9,cD&R  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 { +&=:x/  
2NXN^;S0  
其他非重点三角函数 `zdm w+jr  
S3\ :,e,  
　　csc(a) = 1/sin(a) [NvgcMTd  
@ 1"6(T  
　　sec(a) = 1/cos(a) r%~ZzZ43  
-]N`t!1s  
　　 ~ v))E#8  
GU7phW7E  
双曲函数 x4H*[o-`  
q7e]re-I5  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 BmsAIPX/u  
q) O[nKm .  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 $ !!Jx/e  
|,^h@  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) <\ggCmBi  
>~-ngh{  
　　公式一： Ea?B7Fs  
6rU3GCJ  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： g;J"LH=X  
a%N|BZ  
　　sin（2kπ＋α）= sinα j'qu$wt1  
Ivk%W6d{'  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 7h?KW1!  
V=!"=@ACZ,  
　　tan（kπ＋α）= tanα zV~L1Zl~  
Q.o4*t  
　　cot（kπ＋α）= cotα cGW1HDN  
a~O`nm}[w  
　　公式二： wcW_F~T}  
/(9;OqE5!  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 5yX/ k-  
I S nDFS8  
　　sin（π＋α）= -sinα 2W^h%>2  
E-*3cY #  
　　cos（π＋α）= -cosα [6Y$D#kH  
Axyf(K))N  
　　tan（π＋α）= tanα CQ8" a  
r]*1&(  
　　cot（π＋α）= cotα r%r5Fhg^  
}}Q O c  
　　公式三： //{d8,o  
'Y)+VCU*  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Qc3Ej i} a  
.^3j]  
　　sin（-α）= -sinα !Q/SwwS  
\x=oL eC  
　　cos（-α）= cosα DD/ L`|PG6  
:p4F  
　　tan（-α）= -tanα W .^Epwo  
9 (#11T  
　　cot（-α）= -cotα /aih:`  
}~V\{V*`-  
　　公式四： l`A <*G  
/ZArT+{4  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： .n{I6~h  
9jNp+j  
　　sin（π-α）= sinα 3x99#<F  
w,}Y&R[  
　　cos（π-α）= -cosα Oa&9K'5 s  
8imzT]/1}  
　　tan（π-α）= -tanα :|f!5VCN  
HW&ceZ  
　　cot（π-α）= -cotα q~N}+68  
EVrHx)&+3  
　　公式五： >p|/jX{  
g`"<^vJ6  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： A`wR|bcb'P  
Zw{D9mfy  
　　sin（2π-α）= -sinα p$G"?c8<  
TYM @cw^  
　　cos（2π-α）= cosα c>X_4xch  
RDZn m<5/  
　　tan（2π-α）= -tanα h)\`g<>>K  
rmvriqm  
　　cot（2π-α）= -cotα %^nBB&y|  
aT3=C?cb  
　　公式六： gWn'Od{_  
J>G r%`P/  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Ovf\\b8d  
N5N>a.4  
　　sin（π/2+α）= cosα N|2^K;}#  
ltp82W.  
　　cos（π/2+α）= -sinα *!ZkK ~R0R  
\A/o'IL=  
　　tan（π/2+α）= -cotα Bk\x:m3A  
DXc,Y  
　　cot（π/2+α）= -tanα $W ^  
fq vn)sS  
　　sin（π/2-α）= cosα 8) 7i}7I  
e&>Z=lB  
　　cos（π/2-α）= sinα :@Z9#0g  
,53qAaV+2  
　　tan（π/2-α）= cotα $ pkUjg:u  
5Ku?#8:],  
　　cot（π/2-α）= tanα ';V)]_C[  
`2t->U R'  
　　sin（3π/2+α）= -cosα yMmgqwC  
;_PC| av_  
　　cos（3π/2+α）= sinα :; !K)1  
`K#n+n)  
　　tan（3π/2+α）= -cotα @c@tuL8  
uTL9g<  
　　cot（3π/2+α）= -tanα aJ\3qafPO  
HQ[<WB5Mm`  
　　sin（3π/2-α）= -cosα S;-F3rVMl&  
PhAiV`V  
　　cos（3π/2-α）= -sinα f)7% 8  
E;|Wx  
　　tan（3π/2-α）= cotα D'DnV<)}  
$U.g=O9  
　　cot（3π/2-α）= tanα Dn*E4A 8P?  
9ge1``\]  
　　(以上k∈Z) ]c_ <`{  
Pp0".s(F2?  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 2eU&m_Y|J  
LIO8:~QP0  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = {ur4K $  
0FRl%r%A  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } '[Jz6n O  
%!pO#k"c!m  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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