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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 $K AH9O  
t-9l]t  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. (L s=H NG  
I 5~3 k 6  
　　1、三角函数本质： MH;>j^paE  
>eZ"S%\  
　　三角函数的本质来源于定义 dsT4[p h|  
Sg"+i'  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 2v$>\0  
@1{qjaJ  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 lgVG*NrNv%  
C)X?`xm  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： As~( 9]  
|RD#;Mvt  
　　推导： :D7BY{;  
\YLFH{wrj  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 %6=_'>qb  
2}IXHB6x  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) GIW~28sM  
al} ^vh  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) $Wv P}UU  
I-GT^`V  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 _[Q=<0   
!o&Ij0D  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） bk%2 $Jah  
#! MmNFb  
　　[1] L "0w]!  
L?VdkO]  
　　两角和公式 x<G\+  
b+1'R  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 688OU_h  
\4fa8y  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB   A!U'`  
)i24oy'v  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB uUKce[]~  
ndI, ti  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB O~aYctoP  
9KK|F  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 7 ZGW6*  
v|qj7Q3~e  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) w8K'gbv  
uOO1Ad.c  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  --'QPK  
`JG -gO  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) l36jB`Qj  
|W`d!n`  
倍角公式 Re7kS=:  
G DcF+AZ  
　　Sin2A=2SinA•CosA k.y"ZFV-  
5d 7%)3  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 $`r$T+  
F:doz K?1j  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） j?m<DL c  
/% 04j  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ,;SYECj*  
W 9wG  
三倍角公式 %^GR|bY  
Q#fifa  
　　 8u: T9~r  
V3J?:Zo  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)  )rx"C  
k7Vfz >  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) i9"qE>Ro  
Jr EGw\I  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) bH"rK &a  
6Q@I_Xeu6  
三倍角公式推导 ?5:0lZ$\  
yu< y[p[~U  
　　sin3a KERWz<  
/*SgWws3  
　　=sin(2a+a) I!;cz{_  
&i`8wZtm  
　　=sin2acosa+cos2asina m]~e#is8=  
d8$f= [*J  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina '/jXE`3  
l1<AUz H  
　　=3sina-4sin³a ` %Wk*C  
oPT:DLl  
　　cos3a Zl82 fff  
p9}XX. ^  
　　=cos(2a+a) `RB^a*w  
NDYBWy.K  
　　=cos2acosa-sin2asina td'+,4nx@&  
s}|U?jyr<  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa "2)s= *  
G%PYdD8d  
　　=4cos³a-3cosa M g ,G  
q^3 ac8o  
　　sin3a=3sina-4sin³a 4nd1+  
.\lb;H  
　　=4sina(3/4-sin²a) o?7\v~  
L+D]Z?a  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] K^5UObk  
}P jK. r  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) D1*&c,$  
YOW o A`E  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) H`?G;.4b8  
YG`Eo  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] MZ&:_v  
T/Z*[c}~  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) KS-$;`>ZCa  
 jEw2}  
　　cos3a=4cos³a-3cosa B<4C>1#Aw<  
Be@6oMZ  
　　=4cosa(cos²a-3/4) td, qOJ  
e2<hkwkC^  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] _ .}# 1p  
cGo-()p  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) {,h.iY  
s|M&.=  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) (VqZ,>>_  
!ZF3W=V{   
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} &{Vih[O'  
:(S3tV.  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) aa?AU[U5  
L:v6*HbPV  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] q)os &  
s]K &>`w  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] @&yfF  
 cnpqo8  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) CdYiHULTx  
V+ cTv\_<  
　　上述两式相比可得 lEW8g=g{  
W1 bQ2IW]  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) :cuW9V;&m  
^a!6prY  
半角公式 m.9>_{ab  
3V|LwX)K  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); [yKs7$  
Q`8lJS" dY  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. OokuONP@  
Y%G,}Ee'  
和差化积 0- %TFp  
:g(jBTL  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 38{I^:C{r$  
Vev's7 b  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] qqT&jOdE  
OQ[S@L,?D  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] w* CR^[L  
LM?h/4d  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] eTu Wg<x|  
R Fw!!y7  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) YhC2|R{  
eD>}iqHs6  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) L 9Ln q+  
4B2K23\  
积化和差 AI;KGb'U{  
W:Iftp>  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] BS$DK^VMY  
 (th`wq$  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] C_@Fm\Yh"  
`.fg5$NmJ  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] yzfH{IH"  
-V:xfO+ {^  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] e$}b t_V  
lJ5HXtH~A  
诱导公式 ^E#x9w5n  
m0v[d  
　　sin(-α) = -sinα 'INMb%@RD  
{l/-Pu P  
　　cos(-α) = cosα J.pv1Pu  
jM|# 5Y  
　　sin(π/2-α) = cosα C-E/8Kb  
%<I_/#Y$.  
　　cos(π/2-α) = sinα l{Co ?  
<dmAxW)m~  
　　sin(π/2+α) = cosα "6[`)P+PP  
9+K!}J&pBx  
　　cos(π/2+α) = -sinα JjrZS +=  
3e @I6T.=  
　　sin(π-α) = sinα }LS\:j12'  
Qp|[3&IDt  
　　cos(π-α) = -cosα 3M)e(TqD  
Rgof;bPT  
　　sin(π+α) = -sinα xzykx99  
a:Ef,,7;#[  
　　cos(π+α) = -cosα %3CbhH'HX  
v =0/xOd  
　　tanA= sinA/cosA C$Nczn,.  
s+e^b  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 7Kt:Z0HF  
Lh$#vx`  
　　tan（π/2－α）＝cotα u_y ?)*  
}Nq vo|  
　　tan（π－α）＝－tanα leu(" 'j  
."x}8}-AG1  
　　tan（π＋α）＝tanα }oB4,)2  
';= y?W i  
万能公式 /dY^$N@u%  
$5ool7kA  
　　 it k$/YU  
w(#ZzEUA1q  
其它公式 w~U `wlK  
.d573+F  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 NRnod  
J``v0l S  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 Ia%ox=Y&7A  
OT1IP,  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 3>i?'zI  
cl3-=f%"<p  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 AU[h W@o  
=q?$"\MiO  
　　对于任意非直角三角形,总有 c+_=(8+4L  
]MR6hqv=&@  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC URd|eJ Mu  
#Yt!t1U"  
　　证: f&N^P:W8&  
0G!/B-+m=5  
　　A+B=π-C V" ^~2g;OF  
}'ZtlvsQ  
　　tan(A+B)=tan(π-C) lS0q\)B^"  
)du^8Zj0  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) g4cl&2  
LOYh+Y4r-  
　　整理可得 y@uZqJ`np  
aLou;M;38  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 4@#D7U>,  
(!.r%z#  
　　得证 T T/&TM0  
[py]:&9[  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 bj\!O "hM0  
FqVh=Fcjr  
其他非重点三角函数 PN[cC)1XnQ  
([x:d@"oi  
　　csc(a) = 1/sin(a) G-j?b4#  
)nx!l  
　　sec(a) = 1/cos(a) 5]_TYfQB  
v?vA#f =  
　　 y?e>4bL1  
[xZIDOQ  
双曲函数 6Jdw>]h  
V?3H$0Ix  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 VcT,r<7  
?[7zb@Mz  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 c30131 7  
rvqW-yN  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) j Dt"~Z[s  
60)"lHT  
　　公式一： `En-'qtt  
@L9%bz@  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： wGu3:W@  
-|' U ;]  
　　sin（2kπ＋α）= sinα /ZeQy_y,H#  
p`~M*,  
　　cos（2kπ＋α）= cosα / ^MYN+  
5n/Kl!,y  
　　tan（kπ＋α）= tanα biw$At  
j"\nA*c  
　　cot（kπ＋α）= cotα X"c0Q  
%^{AV(TF  
　　公式二： 6RBUu/Gd  
#Z?")|x  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： [@?;5Sf  
lD)8qP  
　　sin（π＋α）= -sinα H;I@PM4=&  
" sX yA_  
　　cos（π＋α）= -cosα Fjgf2 *n  
s {O'RWZ  
　　tan（π＋α）= tanα ^UBXHa)  
4@LCHK9~  
　　cot（π＋α）= cotα ^1fNsj#_b  
e7] q  
　　公式三： GzGyenB`  
y'mrnD  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： !|k&v  
; *oIZq  
　　sin（-α）= -sinα <{ZTvE9'"  
O:G:%Wb1h  
　　cos（-α）= cosα >7k\i,cx.  
qb :_6(M8  
　　tan（-α）= -tanα IKAj%e(4\,  
:W'?>SYI  
　　cot（-α）= -cotα Y.\c@!K  
k(/R@TB,a  
　　公式四： d- ArD q \  
=hOG2*F  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： \L&c !uMI  
G5g:i.  
　　sin（π-α）= sinα Hu2MM  
# 0o S5  
　　cos（π-α）= -cosα :XE\y   
sBaQtsf~  
　　tan（π-α）= -tanα ]@nn.Li  
:\'`.b  
　　cot（π-α）= -cotα Kn ' $  
kOXE d2f^  
　　公式五： u%zur7ULN  
^ 6c :j  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： YEs,*(w7  
t'TUg3af  
　　sin（2π-α）= -sinα m,5'?J_h  
ftm@Q<\\`  
　　cos（2π-α）= cosα c(U~LR ZY  
cGDgo`  
　　tan（2π-α）= -tanα C)K? [  
x=V<hN-% M  
　　cot（2π-α）= -cotα Fspo~ZsK  
>~+Z,  
　　公式六： /U!l;]U  
Jl("%K  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： iu_u:meJ  
*R:c^Hs7<:  
　　sin（π/2+α）= cosα A1)*hdd  
o!b5:[ h  
　　cos（π/2+α）= -sinα R:vF_ik)  
OGx\} H  
　　tan（π/2+α）= -cotα NW\K I  
"UhZt=nha  
　　cot（π/2+α）= -tanα `2W'A.L:  
U [A0FK  
　　sin（π/2-α）= cosα CDTq `  
9A,aNq>  
　　cos（π/2-α）= sinα zzldKw G~*  
J,W(9X`z  
　　tan（π/2-α）= cotα TObc!pM_  
RoJ ^i.y7  
　　cot（π/2-α）= tanα SMkQST(  
?z Fqcn  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Ao|*881ss  
/m(bIDe  
　　cos（3π/2+α）= sinα (uL"e"qJ  
ufVJ{=_  
　　tan（3π/2+α）= -cotα /Mvs282`@  
I]C/\((  
　　cot（3π/2+α）= -tanα fkv/\'  
e| #Hf(7U  
　　sin（3π/2-α）= -cosα oEfdh P  
u {RJK<5C  
　　cos（3π/2-α）= -sinα vX{ I!%G  
0 :}e D*  
　　tan（3π/2-α）= cotα W`R)tsPM@c  
55fvvC?  
　　cot（3π/2-α）= tanα /%Ee#:K'>  
p9F3u@  
　　(以上k∈Z) "-0NW=$+  
^+YV6:4  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 DpWPv8l,<  
A#4LM!)Tu  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = jqb5IN<F  
\>(n7D  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } RAP62  
u&X_u4  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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