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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 't!`F,+Td  
}&!g]}7x8o  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. E+B;.8ip6  
6!`(gBc  
　　1、三角函数本质： 1WY=&/wnT  
d0`&=Hdy p  
　　三角函数的本质来源于定义 szS]cI>n9&  
=2 5\Vd_  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 FTeE Bv  
B??=Hj  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 &/bCA?qm  
"Lb3X.A37  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： h8!X[>@?{  
09)/D#e  
　　推导： 1Yp mq~Zh  
JbR(6BY:  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 Ehk6n P{*  
Zgh1`-K.#  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) L2@q1O  
V)Qc3LHa-  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) i6 95P  
K|GIQm*  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 HYy{V@G  
5Ar9;|Q"  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） &=WD, Ng  
#l< @i  
　　[1] ;Ononx T  
><]pq|Z&+  
　　两角和公式 P{r^/$!  
Et$cV.  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB J1t}TO  
7 _#B?6;  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  C1Eu,\  
tK],'+) *  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ;re;<F)  
8Zqx7-c m  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB $ph<~$P  
C];k\6po=  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ,Xx. ZLgw  
cg jMF|kw  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ~N |  
9eutl"Mu  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  x"|Q<NA  
pUl,= d  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) V ]j:d ~  
iZPPf $nHr  
倍角公式 TB.^IzE ;  
T3EF7T7M*1  
　　Sin2A=2SinA•CosA [*z #i>{  
:&hPOI  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 m[,?ZKx  
++Af(  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） =m{S  
bHf aO [S  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Keq-~fI  
hg:dn0j3  
三倍角公式 1j0Okxa  
MMUO1KS  
　　 qXU*{l`&  
W?q<  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 3ax-K@S82  
)X%Gi}  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) N^+\Ertr!  
H-)3_xV%f  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) S@[" 8YNKs  
TZ- )Hy ?  
三倍角公式推导 oKpb7$-  
=1_;APf~a{  
　　sin3a 8_c8Fh45  
[+R62  
　　=sin(2a+a) 3a oZ3=wnu  
x>C:NVx  
　　=sin2acosa+cos2asina Dt_d'!Pr2V  
9&@ 3nc  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ,5`Kw0pn^  
?\GR,w  
　　=3sina-4sin³a 0^_.Ptxz5:  
#Q`51od~  
　　cos3a z9ZrJK\  
[wfeF42uQ  
　　=cos(2a+a) +>^jPi=2n  
:_.CuEV  
　　=cos2acosa-sin2asina 5.3b7PZ!U  
z_s|)R;G  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa d% y%q  
k& ^lPqJ  
　　=4cos³a-3cosa Vm2b/(Kzzz  
A'P+v .w  
　　sin3a=3sina-4sin³a Ytz 5\:p  
LB-]>]J~tT  
　　=4sina(3/4-sin²a) H|S74o  
v\EkDUh*  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ,=Jf/X(  
K+w.Y_7(T  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) fDW rYEfv  
BAMBh)  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) )b"%D2yLP  
]1KnG43.-  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] /$&p)%  
}e"/c J]  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) WP,Hs9F  
<=(NC  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 4RMN#d8_E  
b|zB/rh  
　　=4cosa(cos²a-3/4) +sQl#Tg6at  
46?_ *}  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 7XKJ"9[@  
9c4Y_IPtI  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) :PP 0  
Kx8g4 O7V  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 9k4p%B q  
zoP>x/M  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ?1pg0; ~C:  
(}Y TG27  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) *eB1+  
9f9NQXe3\  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] zs8v*aKe  
o OfDYa$A  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] sUSfY"YN7  
EF1~H+F_X  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) B\<5 1 m  
{U55`fe  
　　上述两式相比可得 )_K~sh  
$f di[px  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) {hDt4sV  
(72] p  
半角公式 n^SL N>Y#  
-AjJt>cW  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); |%xB\zr  
xK)9n`  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 4yKtk&s  
df,!{j  
和差化积 .Fq):}snsn  
TY=Xb0qpr.  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] L(zn4  
QX-!?A1 u(  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] *,xnNZG  
|C`R|85P4  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] `\j4>SO  
B I2):!  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] jIycIp`n  
c,3'._;@B  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) zdvwd4i  
g|U/iBG  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) CR}.tbPA  
j 'TI_ V  
积化和差 [ fh^a2tY  
q~Q!*_J  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 3Olw5QD7  
cFU -35  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] G)7vMOy!V  
;t7F(Fe  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] D`5:0;`  
g,\0Qj$ ~d  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 38~J~)O`  
t/b~( mE8  
诱导公式 1J~[$*  
EiQ-{ (I  
　　sin(-α) = -sinα #DR"$L{  
hei8J&Dy=  
　　cos(-α) = cosα sH&Ez[O  
3,J!MWXa  
　　sin(π/2-α) = cosα d>`3Im09  
x!zZ%hf  
　　cos(π/2-α) = sinα \<w5BT_| t  
^y-@/W  
　　sin(π/2+α) = cosα :{V]LH5Z  
sN2 M4ny  
　　cos(π/2+α) = -sinα (3R 7N]W  
~JgWs) U  
　　sin(π-α) = sinα gfQvA]m+  
0\8o|vj  
　　cos(π-α) = -cosα 4RZ\IwT  
sk6:.MS%  
　　sin(π+α) = -sinα Z Po E &  
~e:<KyQ9s  
　　cos(π+α) = -cosα sU1e"E1Hg  
.6vs,ugi  
　　tanA= sinA/cosA a^{<!X_A  
NR,w}@B  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα HD@F"3#  
?LTdr_g;d  
　　tan（π/2－α）＝cotα 3u7IN ~@h  
 Nw0'   
　　tan（π－α）＝－tanα "lk es[*$  
%Ga{O2(j!  
　　tan（π＋α）＝tanα F`K3KH<G:t  
FS%prHA  
万能公式 Pb l,*iety  
SM 8Kx[i  
　　 g~SH} K  
d\j}aaYt]  
其它公式 y|KiVli)  
vnc 14`N  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 feC{^w  
*nA}mNK  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2  =Y88  
X}ttcc{@  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 bcS[)jc  
WpO:R5<9  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Q~\nG](  
yw:Z q{N?)  
　　对于任意非直角三角形,总有 ?ophpouj{/  
:5`Z-B  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC u#;oNc5  
0 Cw!\ #  
　　证: _4IZ dd  
yIw_g`e  
　　A+B=π-C 9`)2-OI  
RW6AEEVr  
　　tan(A+B)=tan(π-C) _uB;m.^M  
c( ,W0rG  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) V0Of+[  
8g&BS/3gr  
　　整理可得 L3"#TY  
T>Ruf\r  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC jhE"a3DQ  
f<(H:HK4  
　　得证 _;55y*  
zySy8csP  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 kKMw?&%_@  
uBn2ox [~  
其他非重点三角函数 9?Ez[`Ex  
_DO/c C*]  
　　csc(a) = 1/sin(a) -E>ayI7  
U,4^R =+:  
　　sec(a) = 1/cos(a) M`8Phk$]n  
Fl;q8kg  
　　 7j0K Q  
%)g6~>0  
双曲函数 m*eoJ+{B  
W3nU.>x  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 hZpbFu  
m-u&y&  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 MPyJ*zCg  
~>(>]9x0  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) B; >Sa@#L  
QY09S ~!W  
　　公式一： u3!%J" M  
Fr&KhY s  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： \[c\Xy&K  
BY(dB=)=D%  
　　sin（2kπ＋α）= sinα zD XOAQ|"  
HFDC>W  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Kly6q~Y(r  
#;Yp*_S  
　　tan（kπ＋α）= tanα [`=U*m9t  
@>gpMv  
　　cot（kπ＋α）= cotα ?^:7!T  
[LSZ'X`]"  
　　公式二： 0'bUFt  
nV|d&Bz  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： =i#M G`X  
kcV{eg<J  
　　sin（π＋α）= -sinα s`@n  
Ua~;)0Dy  
　　cos（π＋α）= -cosα AFl2@?v~  
co##IZEw  
　　tan（π＋α）= tanα T xF"P  
0M.PW]kI  
　　cot（π＋α）= cotα 2 ^DNO0k  
SI%@hqK  
　　公式三： -Y<H;DjE  
},I %1j H  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： '; S]~Y5r  
[u4,z1m  
　　sin（-α）= -sinα .:";y'f'@  
Q(/;~7  
　　cos（-α）= cosα V]55* ~  
u{WJ14]0  
　　tan（-α）= -tanα :~n[D >  
 Zxmi  
　　cot（-α）= -cotα qbiIK9Bz,  
t,{%j`gj  
　　公式四： P/rgj^z  
{N8%Low&  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： NJ(\4j6  
\oV`{r-Ut  
　　sin（π-α）= sinα OPnAH  
3TvUs80u  
　　cos（π-α）= -cosα ), %X),P  
., b)SA  
　　tan（π-α）= -tanα FC&O\%D  
Z)3?#Hz  
　　cot（π-α）= -cotα ,jnc|Z}R  
V_Uhl7o  
　　公式五： Lg.XW~3  
!?%7D*  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： NZLV)!^|  
e)D^c"  
　　sin（2π-α）= -sinα 4I!:@M t$  
!;1R(3 |  
　　cos（2π-α）= cosα %uj[Mg@a  
WQ2Z:n/  
　　tan（2π-α）= -tanα B@^[;+`jh  
MMQ",U3W  
　　cot（2π-α）= -cotα $cx_Q|l+  
p} sW)k  
　　公式六： S6 cL*mWU:  
w|Z!ZgTA  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： gu5vQ+(l  
GDc>z=BY  
　　sin（π/2+α）= cosα lC)  
 '|j64#  
　　cos（π/2+α）= -sinα v> mk,Pb  
*}|X&  
　　tan（π/2+α）= -cotα J}7waP!hD  
$](33*,  
　　cot（π/2+α）= -tanα s9]U|b  
oA''uT  
　　sin（π/2-α）= cosα 9 Lie @4  
~ 0{J>M  
　　cos（π/2-α）= sinα *WY -k _eN  
.l{ew302g  
　　tan（π/2-α）= cotα /d0xc#M:b  
}w=-V y  
　　cot（π/2-α）= tanα 5AGDeDxT  
};LJ?kby  
　　sin（3π/2+α）= -cosα KK5_l!TV  
jD CPV@5z  
　　cos（3π/2+α）= sinα g+]=>Hdb,W  
/&AzBcVg_  
　　tan（3π/2+α）= -cotα bnQ/Z`  
EB{P`.  
　　cot（3π/2+α）= -tanα PP6vES  
e+<3:.i!k  
　　sin（3π/2-α）= -cosα uHO<_:`?g  
VC`fGFXut  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 77|,-Ljzf7  
#=I7TJ>px  
　　tan（3π/2-α）= cotα $ 4Ic-m#  
Y~"&w-=  
　　cot（3π/2-α）= tanα TB!1ff+:1W  
ac (b'?R  
　　(以上k∈Z) O_|1 .H7^  
Co&_B ,  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ml/#xeJx  
D>1%RbhT;  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = W4SP$K}T  
`eEDkNB7O  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } $`t] ]l  
v(_]I`y  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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